Equipe: f(x) Quadrática
FUNÇÃO QUADRÁTICA
ESTUDO DOS SINAIS DE UMA FUNCÃO QUADRÁTICA
MÉTODO GIJUMOR
APLICATIVOS TECNOLÓGICOS UTILIZADOSGRAPH
É um aplicativo matemático, de fonte aberta, desenvolvido com o objetivo de construir e avaliar funções matemáticas diversas, num sistema de coordenadas. Distribuído gratuitamente na rede Internet, permite o desenvolvimento de diversas atividades envolvendo o estudo de funções.
Criado por Ivan Johansen com o intuito de construir e avaliar funções matemáticas diversas como: linear, quadrática, exponencial, logarítmica, trigonométrica (seno, cosseno, tangente,...) raiz quadrada e várias outras.
Útil na construção rápida e de forma prática de gráficos de diversas funções possibilitando ao professor e aos estudantes, ampliar o processo de discussão sobre conceitos, propriedades e características associadas às mesmas, esboçar os gráficos e oportunizar também, o detalhamento da representação gráfica ampliando a qualidade na elaboração dos conceitos.
Link de download: http://www.padowan.dk/graph/%20%20SetupGraph-4.2.exe%20(2.8%20MB)
GEOGEBRA
GeoGebra(aglutinação das palavras Geometria e Álgebra) é um aplicativo de matemática dinâmica que combina conceitos de geometria e álgebra. Sua distribuição é livre, nos termos da GNU General Public License, e é escrito em linguagem Java, o que lhe permite estar disponível em várias plataformas.
Foi criado por Markus Hohenwarter para ser utilizado em ambiente de sala de aula. O projeto foi iniciado em 2001, na Universität Salzburg, e tem prosseguido em desenvolvimento na Florida Atlantic University.
O programa permite realizar construções geométricas com a utilização de pontos, retas, segmentos de reta, polígonos etc., assim como permite inserir funções e alterar todos esses objetos dinamicamente, após a construção estar finalizada. Equações e coordenadas também podem ser diretamente inseridas. Portanto, o GeoGebra é capaz de lidar com variáveis para números, pontos, vetores, derivar e integrar funções, e ainda oferecer comandos para se encontrar raízes e pontos extremos de uma função. Com isto, o programa reúne as ferramentas tradicionais de geometria com outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo. Isto tem a vantagem didática de representar, ao mesmo tempo e em um único ambiente visual, as características geométricas e algébricas de um mesmo objeto.
Link de download: http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/downloadFUNÇÃO QUADRÁTICA
ESTUDO DOS SINAIS DE UMA FUNCÃO QUADRÁTICA
(RELEMBRANDO)
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA
Uma função quadrática ou do 2º grau é aquela cujo gráfico é uma parábola. Essa função é representada por:
f(x)= ax² + bx + c, sendo a, b e c números reais e a ≠ 0.
DEMOSNTRAÇÃO DO DESENHO DE UMA PARÁBOLA NO GEOGEBRA
CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Valores dos zeros da f(x) quadrática é dado por:
- quando Δ é positivo, há duas raízes reais e distintas;
- quando Δ é zero, há só uma raiz real;
- quando Δ é negativo, não há raiz real.
Concavidade de uma f(x) quadrática é verificado, analisando o sinal do coeficiente que está multiplicando o termo que está ao quadrado:
f(x)= ax² + bx + c
- Se a > 0; concavidade para cima.
- Se a < 0; concavidade para baixo
Analisando a constante c de uma f(x) quadrática, verifica-se o ponto em a parábola corta o eixo y:
f(x)= ax² + bx + c
- f(x)=2x²-x+3; a parábola dessa f(x) passa pelo ponto 3 do eixo y.
- f(x)=2x2-x-3: a parábola dessa f(x) passa pelo ponto -3 do eixo y.
Numa f(x) quadrática, as coordenadas do vértice (xv,yv) da parábola é dada por:
f(x)= ax² + bx + c
*A reta que passa pelo vértice da parábola e parelela ao eixo y, forma o eixo de simetria da parábola.
Numa f(x) quadrática, as coordenadas de outros pontos da parábola é dado atribuindo valores para x na função, pois f(x)=y
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Estudar o sinal de uma função é determinar para quais valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula. Ou seja, determinar os intervalos nos quais a função tem imagem negativa e os intervalos nos quais a função tem imagem positiva. A melhor maneira de analisar o sinal de uma função é através do gráfico, pois os permite uma avaliação mais ampla da situação.
Vamos analisar o gráfico da funçã: f(x)=x²-4x+3
- Construir nos aplicativos Graph e Geogebra: f(x)=x²-4x+3
ANÁLISE DA FUNÇÃO
Para x < 1 ou x > 3, vemos no gráfico que f(x) > 0, já que estes pontos estão acima do eixo das abscissas.Para x = 1 ou x = 3 temos que a função é nula, isto é, f(x) = 0.
Para x > 1 e x < 3 vemos no gráfico que f(x) < 0, visto que estes pontos estão abaixo do eixo das abscissas.
Para realizarmos o estudo da variação do sinal de uma função quadrática precisamos conhecer as suas raízes e também se a parábola tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo. Em função das raízes da função e da direção da concavidade da parábola temos seis possíveis situações distintas:
Quando discrimante é positivo, há duas raízes reais e distintas: Δ > 0
- Construir no Aplicativo Graph: f(x)=x²+2x-3; e
f(x)=-2x²+3x+2
Função com Duas Raízes Reais e Concavidade Voltada para Cima
A parábola corta o eixo das abscissas em dois pontos.
Temos o seguinte estudo da variação do sinal da função:
Neste caso também temos duas raízes reais distintas x1 e x2, sendo x1 < x2.
A parábola igualmente corta o eixo das abscissas em dois pontos distintos.
Neste e no caso anterior temos que Δ > 0.
Estudando a variação do sinal da função temos:
FUNÇÕES COM UMA RAÍZ OU UM ZERO
Quando discrimante é nulo, há apenas uma raíz real: Δ = 0
- Construir no Aplicativo GeoGebra: f(x)=x²+2x+1; e
f(x)=-x²+2x-1
Função com Uma Raiz Real e Concavidade Voltada para Cima
Nesta situação temos apenas uma raiz real xv que é a abscissa do vértice da parábola.
A parábola apenas tangencia o eixo das abscissas.
Temos o seguinte estudo da variação do sinal da função:
Função com Uma Raiz Real e Concavidade Voltada para Baixo
Nesta outra situação também temos apenas uma raiz real xv correspondente a abscissa do vértice da parábola.
A parábola novamente apenas tangencia o eixo das abscissas.
Neste e no caso acima temos que Δ = 0.
FUNÇÕES SEM RAÍZES OU ZEROS
Quando discrimante é negativonulo, não há raízes reais: Δ < 0
- Construir no Aplicativo Graph: f(x)=x²-2x+2;
- Construir no Aplicativo Geogebra: f(x)=-x²-2x-2
Função sem Raízes Reais e Concavidade Voltada para Cima
Agora não temos qualquer raiz real.
A parábola não corta nem tangencia o eixo das abscissas em nenhum ponto.
O estudo da variação do sinal da função é então:
Função sem Raízes Reais e Concavidade Voltada para Baixo
No sexto e último caso também não temos nenhuma raiz real.
A parábola igualmente não corta nem tangencia o eixo das abscissas em nenhum ponto.
Neste e no caso anterior temos que Δ < 0, além disto nestes casos o sinal a função é sempre igual ao sinal do coeficiente a.
O estudo da variação do sinal da função é:
VIDEO COMPLEMENTAR: Construção do gráfico de uma Função Quadrática (Aplicativo Cabri-Geometre)
LINK: http://youtu.be/3jGc7jz3jBM
VIDEOS COMPLEMENTARES: Estudo do Sinal de uma Função Quadrática
LINK: http://youtu.be/6YqKA4Uiuz0
LINK: http://youtu.be/m0VzWKYZKjk
EXERCÍCIO
No aplicativo Graph e GeoGebra, esboçe as funções abaixo e analise o sinal de cada função. Salve como imagem JPEG e envie para o e-mail do professor: gio.souza1976@hotmail.com.A função da letra a deverá ser esboçada no Graph e a função da letra b deverá ser no Geogebra. No esboço da função deverá ser reperesentado no mínimo os seguintes quesitos: título, nome, data, equação, coordenadas dos zeros da função e vértice, eixo de simetria e análise dos sinais.
a) f(x) = x² - 2x - 3
b) f(x)=-x² + 2x + 2
TODA ESSA AULA ESTÁ, TAMBÉM, DISPONÍVEL NO BLOG: http://www.matinfogio.blogspot.com/
LINKS PARA APROFUNDAMENTO DO ASSUNTO:
http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoQuadraticaVariacaoSinal.aspx%20
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1390%20
http://www.bib.unesc.net/biblioteca/sumario/00003C/00003CC7.pdf%20
http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_segundo_grau/funcao_segundo_grau_05_exercicios_resolvidos.php
http://%20http//pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_quadr%C3%A1tica
http://pt.scribd.com/doc/7529788/Funcao-Quadratica-A-Funcao-de-2o-Grau
